[Overview] 확률 분포

https://artificialnetworkforstarters.readthedocs.io/en/latest/_post/chap6.html

Chapter 6. 통계 기반 머신러닝 1 - 확률분포와 모델링 — ArtificialNeuralNetworkForNewbie 0.0.1 documentation

---

Chapter 6. 통계 기반 머신러닝 1 - 확률분포와 모델링

이 문서는 한빛미디어에서 나온 처음 배우는 인공지능 을 공부하면서 정리한 것이다.

01 통계 모델과 확률분포

확률기반

확률분포 란 확률변수가 특정한 값을 가질 확률을 나타내는 함수를 의미합니다.

• 연속 확률분포 : 확률 밀도 함수를 이용해 표현할 수 있는 확률분포를 의미합니다. 정규분포, 연속균등분포, 카이제곱분포 등이 있습니다.
• 이산 확률분포 : 이산 확률변수가 가지는 확률분포를 의미합니다. 이산균등분포, 푸아송분포, 베르누이분포, 기하분포,초기하분포,이항분포 등이 있습니다.

머신러닝

머신러닝이란 “기계가 학습한다”는 개념을 의미하는 용어로, 입력 데이터의 특성과 분포, 경향 등에서 자동으로 데이터를 나누거나 재구성 하는 것을 의미합니다.

• 지도학습(Supervised Learning) : 데이터에 정답 정보가 결합된 학습 데이터(또는 훈련 데이터)로 데이터의 특징을 모델링하는 과정을 의미합니다. 주로 식별과 예측 등을 목적으로 둘 때가 많으므로 데이터를 선형 결합으로 나타내려는 특성을 이용합니다.
• 자율학습(Unsupervised Learning) : 입력 데이터의 정답을 모르는 상태에서 사용하는 것으로 클러스터 분석, 차원압축, 밀도추정 등이 해당합니다.

기저함수

기저함수 란 서로 직교하면서 선형적으로 독립적인 함수의 집합을 의미합니다. 기저함수를 구성하는 설명 변수(기저벡터)들은 선형 독립이어야 합니다.

주요 기저함수

기저함수는 확률분포 모델에 따라 연속 확률분포와 이산 확률분포로 분류됩니다.

1. 연속 확률분포

• 정규분포

정규분포 는 가장 많이 사용하는 분포 개념으로 가우스 분포(Gaussian distribution)라고도 합니다. 실험의 측정 오차나 사회 현상 등 자연계의 현상은 정규분포를 따르는 경향이 있습니다.

• 감마분포

감마분포 는 특정 수의 사건이 일어날 때까지 걸리는 시간에 관한 연속 확률분포 입니다. 모양 매개변수가 k이고 크기 매개변수가 θ일 때, 평균은 kθ, 분산은 kθ^2입니다. k=1 일 때 지수분포, k가 반정수((2n-1)/2)고 θ=2 일 때 카이제곱 분포라고 합니다.

• 지수분포

지수분포 는 감마분포의 모양 매개변수 k=1 일 때 사건이 일어나는 시간 간격의 확률분포를 의미합니다. 푸아송 분포와도 깊은 연관이 있습니다.

• 베타분포

베타분포 는 2개의 변수를 갖는 특수 함수인 베타함수를 이용한 분포입니다. 매개변수 a, b를 바꾸면 다양한 분포를 나타낼 수 있으므로 베이즈 통계학에서는 사전분포 모델로 이용할 때가 많습니다.

• 디리클레 분포

디리클레 분포(Dirichlet distribution) 는 베타분포를 다변량으로 확장한 것으로 다변량 베타분포라고도 합니다. 연속함수지만 2차원 평면에서는 연속함수로 나타낼 수 없습니다. 확률자체를 확률분포로 두는 분포로 자연어 처리 등에 많이 사용합니다.

1. 이산 확률분포

• 이항분포

이항분포 란 베르누이 시행(두 가지 종류 중 어느 하나가 나오는가와 같은 실험)을 여러 번 시행했을 때 확률분포를 의미합니다. 정규분포나 포아송분포와 비슷합니다.

• 음이항분포

음이항분포 란 r번 성공하는데 필요한 시행횟수 k의 분포를 의미합니다. 생명과학 분야에서 많이 사용합니다.

• 푸아송분포

푸아송분포 란 일정 시간 간격에 걸쳐 평균 λ번 일어나는 현상이 k번 발생할 확률분포를 의미합니다. 지수분포가 사건이 일어난 후 다시 발생할 때까지의 시간 간격에 대한 확률밀도를 나타내는 반면, 푸아송분포는 단위 시간에 사건이 일어날 확률을 나타내므로 이 둘은 같은 사건의 발생 확률을 다른 측면에서 본다고 이해할 수 있습니다.

• 카이제곱분포

카이제곱분포 란 집단을 몇 가지로 나눴을 때 크기가 작은 집단에 보편성이 있는지 확인할 수 있는 분포입니다. 통계적 추론에서는 카이제곱 검정(독립성 검정)으로 자주 이용하며, 임상시험이나 사회과학 설문조사 등에 자주 사용합니다.

• 초기하분포

초기하분포 란 반복하지 않는 시도에서 사건이 발생할 확률분포를 의미합니다.

• 로지스틱분포

로지스틱분포 란 확률분포의 확률변수가 특정 값보다 작거나 같은 확률을 나타내는 누적분포 함수가 로지스틱 함수인 분포를 의미합니다. 정규분포와 비슷하지만 그래프의 아래가 길어 평균에서 멀어지더라도 정규분포처럼 곡선이 내려가지 않습니다.

• 확률분포 정리

손실함수와 경사 하강법

• 손실함수

생성된 모델을 통해 도출한 결과 값과 기대하던 값 사이 오차를 계산하는 함수입니다. 이 오차를 제곱한 값의 합계가 최솟값이 되도록 구하는 과정은 경사 하강법을 사용합니다.

1. 경사 하강법(Gradient descent method)

경사 하강법 은 손실함수 위 한 점 w1에서 편미분 한 결과(기울기)가 0이 될 때까지 w의 위치에 변화를 주면서 손실 함수의 최솟값을 찾아 나가는 방법입니다. 경사 혹은 기울기는 x-y 평면에서 두 변수의 관계를 설명해 줍니다. 우리는 신경망의 오차와 각 계수의 관계에 관심이 있습니다. 즉, 각 계수의 값을 증가 혹은 감소시켰을 때 신경망의 오차가 어떻게 변화하는지 그 관계에 주목합니다. 모델의 학습은 모델의 계수를 업데이트해서 오차를 줄여나가는 과정입니다.

02 베이즈 통계학과 베이즈 추론

베이즈 정리

• 베이즈정리

베이즈정리 는 두 종류의 조건부 확률 사이의 관계를 정의합니다. 일반적인 베이즈정리 식입니다. 사후확률(Posterior probability)은 사전확률(Prior probability)과 우도(likelihood)의 곱과 같습니다.

• 베이즈정리 용어

1. 사전확률 (Prior Probability)

관측자가 이미 알고있는 사건으로부터 나온 확률. P(A), P(B)

1. 우도 (Likelihood Probability)

이미 알고있는 사건이 발생했다는 조건하에 다른 사건이 발생할 확률. P(B|A)

1. 사후확률 (Posterior Probability)

사전확률과 우도를 통해서 알게되는 조건부 확률. P(A|B)

• 베이즈정리 예제

1. 유방암 검사

A씨가 유방암 검사결과 양성으로 판정받았습니다. (유방암 검사의 정확도는 90%) 과연 A씨가 유방암에 걸린 것으로 나올 확률은 몇 %일까요?

A씨는 ‘양성반응일 때 유방암에 걸릴 확률’을 구하는 것입니다.

즉, 양성반응이라는 전제하에 유방암에 걸릴 확률 P(유방암|양성반응)은,

P(유방암|양성반응) = P(양성반응|유방암) * P(유방암) / P(양성반응)

P(양성반응|유방암) = 0.9

P(유방암) = 0.01

p(양성반응) = 유방암일 때 양성반응일 확률 + 유방암이 아닐 때 양성반응일 확률

= 0.9 * 0.01 + 0.1 * 0.99

= 0.108

따라서 P(유방암|양성반응) = 0.9 * 0.01 / 0.108 = 0.083

유방암 검사에서 양성반응일 경우 유방암일 확률은 약 8.3% 입니다.

1. 몬티홀 문제

B씨가 1번 문을 선택한 경우 ‘진행자가 3번문을 열었을 때 자동차가 1번 문에 있을 확률’과 ‘진행자가 3번문을 열었을 때 자동차가 2번 문에 있을 확률’을 구하여 비교하는 것 입니다.

P(자동차1번|선택3번) = P(선택3번|자동차1번) * P(자동차1번) / P(선택3번)

P(선택3번|자동차1번) = 1/2

P(자동차1번) = 1/3

P(선택3번) = 1/2

따라서 P(자동차1번|선택3번) = (1/2 * 1/3) / 1/2 = 1/3

P(자동차2번|선택3번) = P(선택3번|자동차2번) * P(자동차1번) / P(선택2번)

P(선택3번|자동차2번) = 1

P(자동차2번) = 1/3

P(선택3번) = 1/2

따라서 P(자동차2번|선택3번) = (1 * 1/3) / 1/2 = 2/3

B씨는 선택을 바꾸는 것이 확률적으로 유리합니다.

최대가능도 방법과 EM 알고리즘

• 최대가능도 방법

관측데이터에서 의미있는 값을 구할 때 손실함수를 생성한 뒤 가능도함수 를 생성할 수 있습니다. 가능도함수가 최대가 되는 θ값을 정했을 때 θ는 최대가능도 추정량(Maximum Likelihood Estimation, MLE)라고 합니다. 엔트로피가 높은 상태, 즉 노이즈가 가장 균형있게 흩어져 있는 상태를 최대가능도 추정량으로 정해서 의미있는 데이터를 구할 수도 있습니다. 복잡한 가능도함수에서는 최대가능도 추정량을 직접 구할 수 없을 때가 많으며 보통 반복 계산으로 구하는 방법을 선택합니다.

• EM 알고리즘

EM 알고리즘 은 숨겨진 변수를 포함하는 모델에 사용하는 가상 데이터 전체의 가능도함수를 바탕으로 불완전한 데이터에서 최대가능도 추정량을 구하는 방법을 의미합니다. Expectation 단계와 maximization 단계로 구성됩니다.

1. E (Expectation) Step

아래쪽 경계를 결정하기 위한 θ에 의존하는 볼록함수 Q를 결정하는 단계.

1. M (Maximization) Step

반복실행하여 Q에서의 θ를 극대화하는 단계.

max p(X|θ) = ∑ p(X,Z|θ)

lnp(X|θ) = L(q,θ)+ KL(q∥p)

L(q,θ) = ∑ q(Z) ln(p(X,Z|θ)/q(Z)) and KL(q∥p) = −∑ q(Z)ln(p(Z|X,θ)/q(Z))

각 curve는 θ값이 고정되어 있을 때, q(Z)에 대한 lower bound L(q,θ)의 값을 의미합니다. E step을 반복할 때마다 고정된 θ에 대해 p(Z)를 풀게 되는데, 이는 곧 log-likelihood와 curve의 접점을 찾는 과정과 같습니다. 또한 M step에서는 θ값 자체를 현재값보다 더 좋은 지점으로 update시켜서 curve 자체를 이동시키는 것 입니다. 이런 과정을 반복하면 알고리즘은 언젠가 local optimum으로 수렴하게 됩니다.

베이즈 추론

베이즈 추론은 관측하지 않은 데이터를 다루며, 추론해야 하는 대상이 매개변수 θ일 때 확률밀도함수 Φ(θ)를 사전분포 혹은 주관분포라고 합니다. 이 식이 중요한 이유는 관측할 수 있는 데이터 이외에도 데이터에 대한 적절한 가정이 있다면 관측한 데이터만을 사용한 것보다 더 우수한 parameter estimation이 가능하기 때문입니다. 사후분포의 특징을 정하는 매개변수로는 베이즈 추정량, 사후 메디안 추정량, 최대 사후확률(MAP) 추정량의 세 가지가 있습니다.

p(Y|X) = p(X|Y)p(Y) / p(X)

1. 베이즈 추정량

사후분포의 평균제곱오차를 최소화하는 값을 베이즈 추정 이라고 합니다.

1. 사후 메디안 추정량

사후분포의 평균 절대 오차를 최소화하는 값으로 사후분포의 중간값입니다.

1. MAP 추정량

사후밀도를 최대화하는 θ값으로 사후 최빈량 추정량이라고도 합니다.

베이즈 판별분석

판별분석은 데이터 x가 어떤 모집단분포에서 유래했는지 파악하는데 사용하며, 여기에 베이즈 통계학 개념이 포함된 요소를 추가한 것이 베이즈 판별분석 입니다.

N가지 종류의 데이터 x와 추론 대상 매개변수 i가 있는 모집단분포 f(x|i)와 사전분포 Φ(i)로부터 사후확률이 최대가 되는 모집단 분포의 유래를 판별합니다.

03 마르코프 연쇄 몬테카를로 방법

원주율의 근삿값 계산 문제

베이즈 추론을 실행하려고 구축한 모델은 여러 번 계산을 반복하는 것이 중요하나, ‘분포’를 구하는 현대 베이즈 추론에서는 분석할 수 없는 함수를 대상으로도 예측과 최적화 작업을 실행해야 하므로 실행횟수를 대폭 늘려줘야 합니다. 실행횟수를 늘려야 할 때는 조금씩 다른 매개변수를 무작위로 샘플링할 수 있어야합니다.

• 뷔퐁의 바늘 (L’aiguille de Buffon)

뷔퐁의 바늘 에 대한 설명은 다음 페이지 에서 쉽게 설명하고 있습니다. 또한 다음 페이지 에서 직접 시행해 볼 수 있습니다.

몬테카를로 방법

몬테카를로 방법은 난수를 이용하여 함수의 값을 확률적으로 계산하는 알고리즘으로 수학이나 물리학에서 자주 사용됩니다. 스타니스와프 울람이 모나코의 유명한 도박의 도시 몬테카를로의 이름을 본 따 명명했습니다.

• 마르코프 연쇄 (Markov Chain)

• Z t로부터 Z t+1로 transition 진행은 transition matrix T i,j에 의해 일어납니다.
• 즉, 한 상태 Z의 확률은 단지 그 이전 상태에만 의존한다는 것이 markov chain의 핵심입니다.
• 각 node(Z)는 각각의 probability distribution을 가지고 있습니다. (Stochastic observation의 경우 Z t의 확률형태로 표현)
• P(Z t+1)은 P(Z t)와 P(Z t+1| Z t)로 구할 수 있습니다.
• 아주 많은 chain으로 상태전이가 계속될 때 반복 계산하여 P(Z t+1)을 계산할 수 있습니다.
• Markov chain의 특수한 형태인 Stationary Distribution은 메트로폴리스-헤이스팅스 알고리즘을 작동하도록 만드는 핵심조건 입니다.
• Stationary Distribution은 π(모든 state마다 정의되는 확률분포 값. Model이 각 상태 Z에 있을 확률분포)가 t에 따라 더이상 변화하지 않는 상태입니다. (πT = π)

• Traditional Markov Chain Analysis

• Given P(Z t+1 | Z t) (=Transition Rule)…
• Find π(Z) (=Stationary distribution)

• Markov Chain Monte Carlo (MCMC)

• Given π(Z)…
• Find prescription for an efficient transition rule to reach the stationary distribution
• 즉, 어떤 목표 확률분포로부터 random sample을 얻는 방법입니다.
• How to? 우리가 알고있는 π(Z)를 잘 표현할 수 있는 transition matrix를 만들어서 sampling을 반복적으로 진행합니다.
• MaryCalls, Alarm이 Evidence node라고 가정할 때, 나머지 node들에 random 값을 assign해야합니다. 이 때 상태 Z t에서 MCMC로 계산된 transition rule을 사용하여 상태 Z t+1로 변화시켜보고 각 노드들의 assign 된 값을 확인합니다. 결국 가장 많이 나오는 값(most likely value)을 알지 못하던 latent variable에 assign 할 수 있습니다.

• Matropolis-Hastings 알고리즘

• π(Z)를 잘 표현할 수 있는 transition matrix를 만드는 핵심 알고리즘입니다.
• Current value Z t가 있을 때, candidate Z * ~ q(Z * | Z t)를 propose합니다.
• Proposal distribution으로부터 나온 random sample y의 확률과 x의 확률을 비교하여 acceptance probability(α)를 계산합니다.
• 다음 acceptance probability(α)에 따라 Z * (accept) 혹은 Z t(reject)를 취합니다.

04 은닉 마르코프 모델과 베이즈 네트워크

은닉 마르코프 모델

• 은닉 마르코프 모델 (HMM, Hidden Markov Model, Dynamic Clustering)

• Indepentent한 data(latent variables)들로부터 시간 경과에 따라 앞/뒤 상태에 영향을 주는 모델을 의미합니다. 각 상태가 markov chain을 따르되 state는 은닉되어 있다고 가정합니다. Latent random variable인 z1은 시간 t1에서 x1이 관찰됩니다. 또한 z1은 이후 latent random variable인 z2에 영향을 미칩니다. 여기에서 x1은 P(x1|z1)라는 emission probability로 표현할 수 있습니다.

• HMM의 main questions

• Evaluation question

• Given π, a(transition probability matrix), b(zi에서 ti일 때 xi가 나타날 emission probability), X…
• Find P(X|M, π, a, b) : Trained model M에서 X 가능성은 어느 정도입니까?
• 중복되는 계산 결과(전방확률)는 어딘가에 저장해 두었다가 필요할 때마다 불러서 쓴다는 것입니다. N개의 은닉상태가 있고 관측치 길이가 T라면 고려해야 할 가짓수가 N^T개나 되는데 중복되는 계산을 저장해 둔다면 계산이 훨씬 간단해 집니다.

• Decoding question

• Given π, a, b, X…
• Find argmax z P(Z|X, M, π, a, b) : 가장 가능성이 높은(최적의) Z(latent state)는 무엇입니까?
• 이미 π, a, b가 주어진 상황에서 Z를 구한다는 점에서 ‘supervisez learning’과 유사합니다.
• 모델의 최적(최대확률을 가진) 상태를 구하는 Viterbi 알고리즘이 있습니다. Evaluation question과 가장 큰 차이점은 역추적(backtracking) 과정이 존재한다는 점입니다.
• 나열된 단어에서 품사 태그를 찾는 것 등에 사용할 수 있습니다.

• Learning question

• Given X…
• Find argmax π,a,b P(X|M, π, a, b) : X(observation)만 주어진 상황에서 HMM의 underlying parameters(π, a, b)는 무엇이 있습니까?
• π, a, b가 알려지지 않은 상황에서 이를 추정한다는 점에서 ‘unsupervised learning’과 유사합니다.
• Baum-Welch 알고리즘(EM algorithm for HMM, Forward-Backward algorithm)이 있습니다.

• Optimized π, a, b (예측값)을 구합니다. 이 때 EM 알고리즘(Expectation-Maximization)을 사용합니다.
• X, Optimized π, a, b로부터 가장 가능성이 높은(최적의) Z를 구합니다. (Decoding)

베이즈 네트워크

베이즈 네트워크 는 acyclic and directed graph와 a set of nodes, a set of link를 통해 random variable을 conditionally independent하게 표현하는 graphical notation입니다.

• Typical Local Structure

• Common Parent

• J ⊥ M|A
• P(J,M|A) = P(J|A)P(M|A)

• Cascading

• B ⊥ M|A
• P(M|B,A) = P(M|A)

• V-Structure

• ~(B ⊥ M|A)
• P(B,E,A) = P(B)P(E)P(A|B,E)